%\documentclass[a4paper,12pt]{article}


%\usepackage[utf8]{inputenc}
%\usepackage[english, russian]{babel}
%\usepackage{ams math}
%\usepackage{ams fonts}
%\usepackage{a4wide}
%\usepackage{monmap}
%opening
%\title{}
%\author{}

%\begin{document}

%\maketitle

\section{Дискретный процесс управления --- часть II}
\subsection{Постановка задачи и её решение}
Рассмотрим дискретный процесс управления:
\begin{equation}\label{Lec5DSys1}
	\begin{cases}
		x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+f,\\
		x(k_{0})=x^{0} \longrightarrow x(k_{1})=x^1,\\
		c = x^1 - X(k_1, k_0) x^0 - \sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1} X(k_1-1,k) f,\\
		\sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1} X(k_1-1,k) B u(k) = c,\\
	\end{cases}
\end{equation}
где $X(k,l)=A^{k-l}$.\\
Система \eqref{Lec5DSys1} разрешима тогда и только тогда, когда $c\in \left(\bigcap\limits_{k=k_0}^{k_1-1}{\Ker\left(B^{T}X^{T}\left(k_1-1,k\right)\right)}\right)^\perp.$\\
Наложим ограничение на величину управления:
\begin{equation}\label{Lec5Ogr1}
\sum_{k=k_0}^{k_1-1}{\left(u(k)\right)^2}\le \mu^2.
\end{equation}
Множество достижимости: $\soa_\mu[k_1]= \set{\sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1}{X(k_1-1,k)B\left(u(k)\right)}}{\eqref{Lec5Ogr1}}$.\\
Опорная функция рассматриваемого множества выглядит следующим образом:
\begin{equation*}
 \sufu{l}{\soa_\mu[k_1]} = \mu\sqrt{\scalar{l}{\left[\sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1} X(k_1-1,k)BB^{T}X^{T}(k_1-1,k) \right]l}},
\end{equation*}
где $[\ldots]$ обозначим за $W(k_1,k_0)$. % FIXME: хотя в лекциях так написано, обозначение введено непонятно как --- Николай.
Минимальное $\mu^0 = \sup_{l\ne 0} {\dfrac{\scalar{l}{c}}{\sqrt{\scalar{l}{W(l)}}}}$.\\
Если $\mu^0 < \infty$ (т.\,е. если задача разрешима), то
$$l^0 \in \underset{\substack{l \notin \Ker W \\ l\ne 0}}{\Argmax}{\dfrac{<\scalar{l}{c}}{\sqrt{\scalar{l}{W(l)}}}}; \quad s^0(k)=B^T X^T(k_1-1,k) l^0.$$
Положим $u_0 \eqdef \mu^0 \dfrac{s^0(k)}{\norm{s^0(k)}}$ --- это и есть решение нашей задачи.\\
% TODO: вставить картинку касания гиперплоскости с множеством достижимости для получения значения $c$ --- того самого, единственного --- Николай

%%% по лекциям Николая
Выпишем условия на значение $c$: $\scalar{l}{c} \leq \mu^0 \sqrt{\scalar{l}{Wl}}, \scalar{l^0}{c} = \sufu{l^0}{\soa_{\mu^0}}$. Тогда выпишем те множества, на которых находится точка $c$ (в этом нам поможет рисунок):
% FIXME: после вставки картинки выставить ссылку на неё
\begin{itemize}
	\item $c$ принадлежит множеству достижимости;
	\item $c$ принадлежит опорной гиперплоскости;
	\item $c$ принадлежит эллипсоиду.
\end{itemize}
Следовательно, точка $c$ единственна. $\pi_{l^0} \cap \soa_{\mu^0} = \{c\}.$\\
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% --- Николай.
Распишем $u^0$ (при условии, что $\norm{s^0(k)} = 1$): 
$$\mu^0\sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1}{X(k_1-1,k)BB^TX^T(k_1-1,k)l^0}=\mu^0 W(k_1,k_0) l^0.$$\\
Опорная функция $\sufu{l}{\varepsilon(p,P)}=\scalar{l}{p}+\sqrt{\scalar{l}{Pl}}$.\\
Из условия касания в точке опорной гиперплоскости $z^*=\dfrac{Pl}{\sqrt{\scalar{l}{Pl}}+p}$.\\
Мы хотим показать, что $\mu^0W(k_1,k_0)l^0 = \dfrac{Pl_0}{\sqrt{\scalar{l_0}{Pl_0}}+p}$.
Очевидно, что $||s^0||=1$ равносильно $\scalar{l^0}{Wl^0} = 1$. 
Тогда $\soa_{\mu^0} = \varepsilon \left(0, \left(\mu^0\right)^2 W\left(k_1,k_0\right)\right)$,
$Pl_0=(\mu^0)^2 W(k_1,k_0)l^0$. Из этого следует, что $z^*=\mu^0 W l^0$ (на самом деле всё следует из $\pi_{l^0} \cap \soa_{\mu^0} = \{c\}$, мы только подтвердили, что всё так и есть).
\subparagraph{Замечание об эллипсоидах.} % Или ещё раз об эллипсоиде и цилиндрах
Рассмотрим эллипсоид, задаваемый матрицей $P=P^T \geq 0$.\\
Если $P>0$, то
\begin{equation}\label{Lec5Elips1}
\scalar{z-p}{P^{-1}(z-p)} \leq 1.
\end{equation}
Всегда выполнено: $P=U^T \Lambda U$.
Приведём эллипсоид к главным осям: $\zeta = U(z-p)$, $z-p=U^T \zeta$. 
Тогда $\eqref{Lec5Elips1}$ превращается в $\scalar{\zeta}{\Lambda^{-1} \zeta} \leq 1$.
Поэтому справедливо следующее неравенство:
$$\lambda_{-1}\zeta_1^2+\ldots+\lambda_{-1}\zeta_n^2 \leq 1.$$ 
Если $\lambda_i=0$, то $\zeta_i=0$ (убиваем бесконечность и сохраняем неравенство). Поэтому мы можем считать вырожденный эллипсоид и эллипсоидальный цилиндр предельными случаями. % может стоит написать чуточку яснее

\subsection{Геометрическая интерпретация}
Введём в рассмотрение следующие матрицы:
\begin{equation*}
\bar{u} = 
\left[
	\begin{array}{c}
		u(k_0)\\
		u(k_0+1)\\
		\ldots\\
		u(k_1-1)
	\end{array}
\right] \in \mathbb{R}^{k_1-k_0}
\end{equation*}
\begin{equation*}
\real ^ {n \times (k_1 - k_0)} \ni \Gamma = \left[X(k_1-1,k_0)B \,\middle| \ldots \,\middle| X(k_1-1,k_1-1)B \right] = \left[A^{k_1-k_0-1}B \,\middle| \ldots \,\middle| AB \,\middle| B\right].
\end{equation*}
Тогда $\eqref{Lec5DSys1} \Leftrightarrow \Gamma \bar{u} = c$.
Система $\eqref{Lec5DSys1}$ разрешима $\Leftrightarrow c \in \Im\Gamma = \Im \left[ A^{\min{(k_1-k_0,n)}-1}B \,\middle| \ldots \,\middle| AB \,\middle| B \right]$.\\
В~данном соотношении $\min$ берётся по той причине, что если $k_1-k_0 > n$, то по теореме Гамильтона--Кэли степени выше $n-1$ к образу ничего нового не добавят. (По~теореме Гамильтона--Кэли $A$ --- матрица-корень своего характеристического многочлена, поэтому любая её степень выражается через $A^{n-1}, A^{n-2}, \ldots, \mOne$: имеем соотношение $A^n + c_{n-1} A^{n-1} + \ldots + c_0 \mOne = 0$ или $A^n = -c_{n-1} A^{n-1} - \ldots -c_1 A - c_0 \mOne$).\\
Минимальное по норме решение представляет собой нормальное псевдорешение:
$$\norm{\Gamma\bar{u}-c}^2\to\min.$$
Минимальное псевдорешение подразумевает также $\norm{\bar{u}}\to\min$.
Решим вопрос о нахождении данного решения.\\
Имеем $Ax=b$. Тогда $A^*Ax=A^*b$, причём эта система всегда совместна.
Выпишем то же относительно $\Gamma$: $\Gamma^T\Gamma\bar{u}=\Gamma^Tc$. Отметим, что
$\Gamma^T\Gamma = \sum\limits_{k=k_0}^{k_1-1}{B^TX^T(k_1-1,k)X(k_1-1,k)B}$ --- симметрическая и положительно определённая матрица. Заменой её можно свести к диагональной. Решение будем искать в виде $\bar{u}=\Gamma^T l$, тогда
\begin{equation}\label{Lec5DSys2}
	\underbrace{\Gamma\Gamma^T}_W l=c.
\end{equation}
Рассмотрим два случая.\\
\begin{enumerate}
	\item $W$ --- невырожденная, тогда $\Tilde l^0 = W^{-1}c \Leftrightarrow \bar{u}=\Gamma^TW^{-1}c=\Gamma^T \Tilde l^0$. Но, как мы знаем, $\Gamma^T \Tilde l^0 = \bar{s}^0 = [s^0(k_0),\ldots,s^0(k_1-1)]^T$.\\
	\item $W$ --- вырожденная, тогда $W^{-1} \eqdef W^{\oplus}$ --- псевдообратная Мура--Пенроуза (обращение нуля на диагонали даёт снова ноль); $l^0=W^{\oplus} c$.
\end{enumerate}
Разрешимость $\eqref{Lec5DSys2}$ эквивалентна разрешимости $\Gamma\bar{u}=c$, поскольку из линейной алгебры известно, что $\Im\Gamma\Gamma^T=\Im\Gamma$, т.\,к. $\Im\Gamma\Gamma^T=(\Ker\Gamma\Gamma^T)^{\perp}$, $\Im\Gamma=(\Ker\Gamma^T)^{\perp}$. \\
Осталось доказать, что $\Ker \Gamma \Gamma^T = \Ker \Gamma$. Действительно, пусть $\Gamma\Gamma^Tl=0$, $\Gamma^Tl\in \Ker\Gamma=(\Im{\Gamma^T})^{\perp}$, но из $\Gamma^Tl \in \Im\Gamma^T$ следует, что $\Gamma^Tl = 0$, что и требовалось.\\
\begin{ex}
	Пусть $k_1-k_0 = 3$,$n=2$; $\Gamma=[g_1^T,g_2^T]^T$, $\Gamma \in \mathbb{R}^{2\times3}$. Тогда имеем следующее:
	\begin{equation*}
		\Gamma\bar{v}=c \Leftrightarrow
		\begin{cases}
			\scalar{g_1}{\bar{u}} = c_1,\\
			\scalar{g_2}{\bar{u}} = c_2.
		\end{cases}
	\end{equation*}
	% TODO: вставить картинку пересечения двух плоскостей (лучше взять из лекций Дани) --- Николай.
	Если $g_1, g_2$ линейно независимы, то $\Gamma\Gamma^T = W$ --- матрица Грама (невырожденная).\\
	Минимальное по норме решение --- это пересечение $f$ и плоскости, проходящей через $g_1$ и $g_2$.
\end{ex}

\subsection{Вычисление оптимального управления}
Зададимся вопросом о том, чему равна норма $\norm{u_0} = \mu^0 = $ ?\\
Найдём $\mu^{0} =\sup\limits_{\substack{l \in (\Ker W)^\perp \\ l\ne 0}} \dfrac{\scalar{l}{c}}{\sqrt{\scalar{l}{Wl}}}$ --- опорная функция некоторого эллипсоида (при условии, что $\abs{W} \ne 0 $ --- случай полной управляемости). Тогда $\mu^0 = \sup\limits_{\scalar{l}{Wl} = 1}{\scalar{l}{c}}$.\\
\begin{equation*}
 \mu^0 = \sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}, \quad l_0 = \dfrac{W^{-1}c}{\sqrt{\scalar{c}{W^{-1}c}}} = \dfrac{W^{-1}c}{\mu^0}.
\end{equation*}
Тогда $\mu^0$ --- это сопряжённая норма.\\ % TODO: расписать отступление о том, что такое сопряжённая норма --- Николай.
Если же $\abs{W} = 0$, то внизу полунорма % FIXME: а где внизу? --- Николай.
(нет свойства, что $\norm{x} = 0 \Leftrightarrow x = 0$).
%\end{document}